等比数列求和公式

$$ \begin{cases} a_1\newline a_2=a_1\centerdot q\newline a_3=a_1\centerdot q^2\newline \dots\newline a_n=a_1\centerdot q^{n-1} \end{cases} \Longrightarrow S_n=\frac{a_1\times (1-q^n)}{1-q} $$

排列与组合

排列（Permutation）

  • 相同元素，不同顺序是不同的组合
  • 示例

我们有金、银、铜三块奖牌要颁发给8位运动员，请问有多少种发放奖牌的方式？

解：首先发放金牌，有8种选择；然后发放银牌，有7种选择；最后发放银牌，有6种选择。那么总共的发放方式就是$8\times 7\times 6 = 336$。 延伸：如果现在有n个运动员，要按照顺序的颁发k个奖牌，有多少种不同的颁奖方式？

  • 通用公式（在n个物品中，按顺序的选择k个物品，选择的方式总共有）

$$ P_n^k=\frac{n!}{(n-k)!} $$

组合（Combination）

  • 没有顺序的区别，元素不同才是不同的组合
  • 示例

我们有3个安慰奖要颁发给8位运动员，请问有多少种发放安慰奖的方式？

解：由于安慰奖是没有区别的，所以没有顺序的区别，谁先谁后都是一样。所以就是【上一步排列的结果】除以【不同颁发顺序的总数】，就得到安慰奖的颁发方法总数。

  • 通用公式

$$ C_n^k=\frac{n!}{(n-k)!\times k!} $$

概率论与数理统计常用公式

基本概念

条件概率

  • 事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率

$$ \begin{aligned} &P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}\newline &P(B|A):事件A发生的条件下,事件B发生的概率\newline &P(AB):事件A和事件B同时发生的概率\newline &P(A):事件A发生的概率 \end{aligned} $$

  • 推导公式

$$ \Longrightarrow P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A) $$

全概率公式

  • 示例
    • 下列例子很明确的说明患肺癌吸烟的概率和吸烟患上肺癌的概率不是同一概率
    • 两者的条件不用，前者的条件是患肺癌，后者的条件是吸烟
    • 即前者是从患肺癌这个样本去区分吸烟与不吸烟的人；后者是从吸烟这个样本中去区分患肺癌与不患肺癌
    • 全概率公式就是能实现这两种概率的转换

人患肺癌的概率为0.1%，人群中有20%吸烟者，吸烟者患肺癌的概率为0.4%，那么不吸烟的人患肺癌的概率是多少【P(患肺癌|不吸烟)】？

解：P(患肺癌)=P(患肺癌吸烟)+P(患肺癌不吸烟) =P(患肺癌|吸烟)P(吸烟)+P(患肺癌|不吸烟)P(不吸烟) =0.004x0.2 + P(患肺癌|不吸烟)x(1-0.2) = 0.001

  • 公式

$$ P(A)=\sum_{i=1}^n P(A|B_i)P(B_i)=P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)+\dots+P(A|B_n)P(B_n) $$

贝叶斯公式

$$ \begin{cases} 1.由条件概率的推导公式可得贝叶斯公式的一般形式P(B|A)=\frac{P(A|B)P(B)}{P(A)}\newline 2.结合全概率公式P(A)=\sum_{i=1}^n P(A|B_i)P(B_i) \end{cases} \Longrightarrow P(B_i|A)=\frac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum_{i=1}^n P(A|B_i)P(B_i)} $$

基本分布

  • 概率密度

$$ F(x)=\int_{-\infty}^x f(t)dt $$

  • 0-1分布

$$ \begin{aligned} &p(X=k)=p^k(1-p)^{n-k}\newline &E(x)=p\newline &D(x)=p(1-p)\newline \end{aligned} $$

  • 泊松分布

$$ \begin{aligned} &p(X=k)=\frac{\lambda ^k e^{-\lambda}}{k!}\newline &E(x)=D(x)=\lambda \end{aligned} $$

  • 正态分布

$$ \begin{aligned} &f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\newline &E(x)=\mu\newline &D(x)=\sigma^2 \end{aligned} $$

  • 指数分布

$$ \begin{aligned} &f(x)=\lambda e^{-\lambda x},x>0\newline &E(x)=\frac{1}{\lambda}\newline &D(x)=\frac{1}{\lambda ^2} \end{aligned} $$

  • 二项分布

$$ \begin{aligned} &p(X=K)=C_n^k p^k (1-p)^{n-k}\newline &E(x)=np\newline &D(x)=np(1-p) \end{aligned} $$

  • 均匀分布

$$ \begin{aligned} &f(x)=\frac{1}{b-a},a\leq x<b\newline &E(x)=\frac{a+b}{2}\newline &D(x)=\frac{(b-a)^2}{12} \end{aligned} $$

期望与方差